Plasma da magnetosfera terrestre – instabilidades Modulacionais Em ondas Íon-Acústicas
ALVES, Tiago Rafael de Almeida1; GAELZER, Rudi2. 

1Fundação Universidade Federal do Rio Grande – Comissão do curso de Física – CCFIS/FURG 
Campus carreiros Av. Itália s /no km 8 – Parque universitário – CEP – 96201-900. E-Mail: tiago.r.alves@universia.com.br
2Universidade Federal de Pelotas – Instituto de Física e Matemática – IFM/UFPel
Campus UFPEL – Caixa Postal 354 – CEP 96010-900. E-Mail: rudi@ufpel.edu.br

1. INTRODUÇÃO

A magnetosfera terrestre é composta por partículas eletricamente carregadas confinadas pelo campo geomagnético.  Sua extensão é da ordem de vários diâmetros terrestres e nela existem diversas regiões distintas ocupadas por partículas como elétrons e íons positivos que apresentam um comportamento coletivo em virtude de interações eletromagnéticas de longo alcance. Macroscopicamente, esta forma de ocorrência da matéria é neutra, embora em uma escala de comprimento denominado comprimento de Debye, não o seja.  Tal forma particular de matéria que se encontra na natureza é denominada plasma [2].
O plasma sustenta uma ampla variedade de ondas dos mais diversos modos, como ondas eletromagnéticas e ondas eletrostáticas, por exemplo. Os diversos modos de oscilação possíveis em um plasma compreendem ondas eletrostáticas, eletromagnéticas e magnetohidrodinâmicas, associadas a variações de pressão e densidade em plasmas magnetizados.
Visamos estudar ondas eletrostáticas em regime não linear no plasma da magnetosfera terrestre. O plasma é composto por três espécies de partículas. Duas populações eletrônicas termalizadas, ou seja, elétrons “quentes” e ”frios“, em conjunto com uma população de íons positivos. As oscilações longitudinais eletrostáticas dos íons contra o fundo de elétrons configuram ondas íon acústicas, as quais analisamos do ponto de vista da física não linear.  O enfoque é dado na variação da amplitude destas ondas, ou seja, nas instabilidades sustentadas por este plasma. 
Por efeito de auto-interações não lineares surgem estruturas localizadas que englobam a onda portadora na forma de um envelope, denominado sóliton.  Assim, há uma lenta variação da amplitude da onda no espaço e no tempo, denominada modulação.  Ela é descrita por uma equação diferencial parcial não linear, chamada Equação de Schrödinger não linear (ESNL), que apresenta solução solitônica. A obtenção desta equação é baseada no Método Perturbativo Redutivo [1,4] e consiste em uma solução perturbativa de um sistema de equações diferencias parciais não lineares. 
Neste trabalho, aplicamos a técnica citada para a obtenção da ESNL com coeficientes próprios, P e Q, respectivamente coeficientes de dispersão e não linearidade.  O sinal do produto de PQ determina o tipo de sóliton: PQ > 0 sóliton brilhante, PQ < 0 sóliton escuro. Sólitons brilhantes correspondem a regiões de compressão da amplitude e sólitons escuros correspondem a zonas de rarefação.  Já a razão P/Q determina a largura do envelope.
Consideramos diferentes orientações entre a direção de propagação da onda e a direção de modulação da amplitude , traçando diagramas q ´ k (ângulo relativo versus número de onda). Realizamos a análise numérica destacando o tipo de sóliton em diferentes regiões do referido diagrama para diversos regimes de densidade e temperaturas eletrônicas relativas.  Ainda analisamos como varia a largura dos sólitons mediante as curvas de contorno da razão P/Q expressas também em diagramas q ´ k.
Os resultados indicam em que regiões do diagrama  um determinado tipo de sóliton ocorre e como varia a sua largura à medida que este se propaga dentro da magnetosfera terrestre [3].

2. APRESENTAÇÃO DAS EQUAÇÕES
                       
A abordagem teórica do problema é baseada no modelo de fluidos o qual descreve a dinâmica do plasma como um fluido composto de partículas com carga elétrica.Deste modo utilizamos um modelo de três fluidos cujas equações são a    equação da continuidade e equação de balanço de momentum  acopladas a equação de Poisson  do eletromagnetismo.Em nosso modelo, nesta ordem, elas têm a forma:   

Aonde as variáveis são a densidade, a velocidade média e o potencial  eletrostático, respectivamente:n,  e .Definimos a temperatura efetiva dos elétrons  e a ‘velocidade acústica efetiva’.Th/c é a temperatura dos elétrons “hot/cold”, kB é a constante de Boltzmann.A escala de tempo e espaço é respectivamente o período do plasma e o comprimento de Debye efetivo.Com a densidade iônica de equilíbrio ni,0, a ‘velocidade acústica efetiva’ v0 = cs,eff  e Φ0=(kBTeff/e) tornamos as equações para as partículas de índice i adimensionais, segundo as relações: .E desenvolvendo em torno do equilíbrio obtemos as seguintes equações : 

               
Os parâmetros adimensionas α e α’ são  escritos em termos das razões de densidade e temperatura de elétrons quentes para  frios.Tais relações  são dadas por μ e ν:

Mediante análise perturbativa que consiste em considerar pequenos desvios do equilíbrio de um vetor genérico composto pela densidade, velocidade e potencial.Isto é feito tomando, sendo . E com um mudança de coordenadas para variáveis de posição e tempo mais lentas: e, aliada a escala rápida através da fase  entramos na forma completa da expansão: . 
Há duas direções relevantes: a direção de propagação da onda  e a de modulação da amplitude, onde θ é o ângulo relativo.
Reunindo os termos de ordem sucessivas de ε e lidando com l=1 obtemos: em primeira ordem a relação de dispersão ondas íon acústicas; em segunda a velocidade de grupo λ=vg(k); e em terceira a ESNL.

                                
Onde o símbolo  designa genericamente a amplitude da onda assim como suas características físicas: densidade , potencial e  velocidade média. 

3. RESULTADOS E DISCUSSÃO

Para a ESNL, a qual determina a modulação da amplitude, os coeficientes P e Q assumem os seguintes valores: 

O efeito da modulação oblíqua é agora apresentado para diversos comprimentos onda, ressaltando a transformação de um tipo de sóliton em outro (Fig.1). Nestas mesmas condições, apresentamos um exemplo de como varia a largura do sóliton (Fig.2).  Os parâmetros dos diagramas são =0 e =10. 
q                        PQ
 k
Figura (1).  Sinal de PQ. Regiões escuras: PQ < 0, regiões claras: PQ > 0.	q                          P/Q
 k
Figura (2).  Curvas de contorno de P/Q. Em ordem decrescente, os valores de contorno são: -0,25, -0,1, -0,01, 0, 0,01, 0,1, 0,25.	
                                             
4.CONCLUSÕES
 
 A instabilidade das ondas íon acústicas depende do ângulo relativo entre as direções de propagação e modulação.  Diferentes regimes de população e temperatura eletrônica relativas mostram o comportamento físico distinto quanto à não linearidade das ondas. No que concerne a largura, uma variação da concentração local das componentes eletrônicas do plasma pode conduzir a desestabilização do envelope da onda.   Estes resultados estão em concordância com observações realizadas por satélites na magnetosfera terrestre.

5.	REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] ASANO, N., TANIUTI, T YAGIMA, N. Perturbation method for a nonlinear wave modulation. 2. Journal of Mathematical Physics, v.10, n. 11, pp. 2020-2024, 1969.
[2] BITTENCOURT, J. A. Fundamentals of plasma physics. 2nd Ed. São José dos Campos: FAPESP, 1995, pp.1-17.
[3] KOURAKIS, I.; SHUKLA, P. K. Ion-acoustic waves in a two-electron-temperature plasma: oblique modulation and envelope excitations. Journal of Physics A: Mathematical and General, v.36, p.11901-11913, 2003.
[4] TANIUTI, T., YAGIMA, N. Perturbation method for a nonlinear wave modulation. 1. Journal of Mathematical Physics, v.10, n. 8, pp. 1369-1372, 1969.