mÉTODOS NUMÉRICOS ALTERNATIVOS PARA SISTEMAS DE PARÂMETROS CONCENTRADOS NA ENGENHARIA CIVIL
AFONSO, Ronaldo Adriano 1; SUAZO, Germán2; SIMCH, Márcia3, FERREIRA, Vera Lúcia4; VIEIRA, César5; ELY, Cláudia6.

1,5,6Deptº de Física – IFM/UFPel
Campus Universitário  – Caixa Postal 354 – CEP 96010-900. rasa@pop.com.br
2,3Deptº de Matemática e Estatística – IFM/UFPel
Campus Universitário  – Caixa Postal 354 – CEP 96010-900. gcsuazo@gmail.com
4Deptº de Matemática  – Universidade Federal do Pampa
Campus Bagé. vlferre@terra.com.br

1.	INTRODUÇÃO

Os sistemas de parâmetros concentrados, que aparecem com muita freqüência em sistemas vibratórios na engenharia civil, têm sido modelados a través de sistemas de equações diferenciais ordinárias. Dependendo da natureza do fenômeno, tais equações diferenciais podem ser, ou não, lineares. No caso específico de estruturas, tais como vigas, prédios, pontes, torres, barragens, etc., podem ser encontrados modelos envolvendo equações diferenciais lineares.  
Um dos problemas mais críticos nesta área é a ausência de um modelo matemático universal para o amortecimento. Um modelo bastante simplificado é o proposto por Rayleigh, que supõe que as velocidades instantâneas envolvidas são as únicas variáveis relevantes; mas existem outros modelos mais completos (Woodhouse, 1998). Ainda assim, esta suposição não é satisfatória em termos analíticos, pois o modelo resultante possui solução fechada somente no caso em que as matrizes de rigidez e de massa comutam (Caughey, 1960).
A abordagem tradicional para sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares tem sido a redução de Hamilton, que permite expressar o sistema de segunda ordem como um sistema de primeira ordem. Mas, são perdidas propriedades matemáticas e físicas, e por outro lado, aumenta consideravelmente o esforço computacional. 
Aqui, baseados em uma metodologia que utiliza a resposta impulso do sistema, é possível formular um método numérico semi-analítico, que reduz o custo computacional e permite aproveitar propriedades matemáticas das matrizes tais como a simetria. Menciona-se que a resposta impulso do sistema foi determinada de maneira fechada por Claeyssen, 1990. 

2.	MATERIAL E MÉTODOS

Após uma coleta bibliográfica para listar uma série de sistemas de parâmetros concentrados, foram encontrados vários modelos de prédios e torres (Inman, 1994; Yang et al., 1987; Timoshenko, 1974).
O sistema de equações diferenciais ordinárias é da forma ,  onde ,  e  são, respectivamente, as matrizes de massa, amortecimento e rigidez,  é, um vetor desconhecido, geralmente de deslocamentos dos elementos do sistema, e  é um vetor que representa a excitação externa a cada elemento.
Os métodos numéricos mais comumente usados para abordar estes problemas são os métodos de Houbolt, de Wilson, de Newmark, etc (veja Bathe&Wilson, 1976). Estes métodos são em sua maior parte explícitos, e por isso, oferecem dificuldades computacionais quanto ao tamanho de passo. Estes métodos baseiam-se fortemente na suposição que a aceleração é linear, e têm parâmetros que podem ser ajustados para fornecer diversos métodos de acordo com as necessidades do problema específico. 
Por outro lado, analiticamente, a resposta impulso do sistema satisfaz o problema de valor inicial , . Seguindo a abordagem de Claeyssen, 1990, a resposta impulso  pode ser expressa em termos de uma equação matricial recursiva finita, o polinômio característico do sistema e uma equação diferencial ordinária escalar.
Utilizando propriedades algébricas da resposta impulso, pode-se formular um método semi-analítico da forma

As integrais de convolução que aparecem nas equações anteriores podem ser avaliadas a través das fórmulas de Newton-Cotes ou por quadratura gaussiana. Cabe mencionar que as equações iterativas mostradas, por si, fornecem o valor exato do vetor . Estes métodos foram testados com sucesso pela nossa equipe em equações diferenciais ordinárias escalares de primeira e segunda ordem.

3. 	RESULTADOS E DISCUSSÃO

 Para comprovar a eficiência do método numérico proposto, foram considerados vários modelos de sistemas de parâmetros discretos, dos quais, neste resumo, detalha-se o estudo do modelo de um prédio. Neste caso, são feitas diversas suposições simplificadoras, tais como: a massa de cada andar está concentrada ao nível do chão, o amortecimento externo é zero, a elasticidade entre as colunas e as paredes é zero e não há rotação entre as massas. O modelo utilizado neste caso é mostrado na figura 1. Nessa representação também mostram-se as forças interagindo em cada andar, equilibrados mediante a aplicação da segunda lei de Newton.

Figura 1.  Modelo de vibração horizontal de um prédio de quatro andares e as forças restauradoras agindo em cada massa (andar).

Os programas utilizados foram o Maple e o Matlab, conseguindo-se resultados que são mostrados aqui graficamente

Figura 2. Registro da aceleração horizontal versus o tempo de um terremoto (os dados são reais, terremoto de Loma Prieta, Califórnia, 1974)

Figura 3. Os deslocamentos horizontais versus o tempo dos andares de um prédio de quatro andares, sob excitação sísmica.

4. CONCLUSÕES

O método numérico proposto mostra-se competitivo perante os métodos numéricos tradicionais utilizados para resolver o mesmo tipo de problemas. É possível aprofundar este estudo para sistemas de ordem n e para sistemas de parâmetros distribuídos.

5.	REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BATHE,  K., WILSON, E. Numerical Methods for Finite Element Analysis, Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1976.
CAUGHEY, T. K. Classical Normal Modes in Damped Linear Dynamic Systems. ASME Journal of Applied Mechanics, 1960, 27, pp. 269-271.
CLAEYSSEN, J. C. R. On Predicting the Response of Non-Conservative Linear Vibrating Systems by Using Dynamical Matrix Solutions. Journal of Sound and Vibration, 1990, 140(1), pp. 73-84.
INMAN, D. Engineering Vibration, Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1994.
TIMOSHENKO, S. P., WEAVER, W. Jr. Vibration Problems in Engineering, New York, John Wiley, 1974.
WOODHOUSE, J. Linear Damping Models for Structural Vibration. Journal of Sound and Vibration, 1998, 215, pp. 547-569.
YANG, J. AKBARPOUR, A., GHAEMMAGHAMI, P. Instantaneous Optimal Control Algorithms for Structures under Seismic Excitations. NCEER-87-0007, 1987.